Question

已知二次函数k≤1图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上；又b₁=1，c_n=（a_n+2），且₁+2a₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1+2^n-1b_n=c_n，对任意n∈N^*都成立，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n•b_n}的前n项和T_n；
（3）求证：（i）ln（x+1）＜（x＞0）；（ii）＜（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx并求出f'（x），由题意求出a和b，代入求出f（x），由（n，S_n）在y=f（x）上求出S_n，由S_n与a_n的关系能求出a_n，再由题意求出c_n，令n=n-1（n≥2）代入再两式作差求出b_n，需要验证n=1时是否成立，不成立再用分段函数的形式表示出来；
（2）由（1）求出c_n•b_n，根据特点利用错位相减法求出T_n；
（3）（i）构造函数g（x）=x-ln（x+1）（x＞0），再求导数判断此函数单调性，求出函数的值域即得证；
（ii）根据（i）构造lnn＜n-1（n≥2），再变形、赋值、放缩得：，代入化简后，再进一步放缩利用裂项相消法求和即可．
解答：解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx，f'（x）=2ax+b，
∴2a=6b=-2，则f（x）=3x²-2x，
∵（n，S_n）在y=3x²-2x上，∴S_n=3n²-2n．
当n≥2时a_n=S_n-S_n-1
=3n²-2n-3（n-1）²+2（n-1）=6n-5
又n=1时a₁=3-2=1=6×1-5符合，
∴a_n=6n-5，
则c_n=（a_n+2）==2n-1，
由b₁+2a₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1+2^n-1b_n=c_n得，
b₁+2a₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1+2^n-1b_n=2n-1 ①，
令n=n-1（n≥2）代入上式得，
b₁+2a₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1+2^n-2b_n-1=2n-3 ②，
①-②得，2^n-1b_n=2，即（n≥2），
又∵b₁=1不满足上式，
∴，
（3）由（2）得，，
∴T_n=1+3+5×2^-1+7×2^-2+…+（2n-1）×2^2-n   ③，
T_n=+3×2^-1+5×2^-2+7×2^-3+…+（2n-1）×2^1-n    ④，
③-④得，T_n=+2（2^-1+2^-2+…+2^2-n）-（2n-1）×2^1-n
=+2×-（2n-1）×2^1-n=，
则T_n=11-（2n+3）×2^2-n，
（3）（i）设g（x）=x-ln（x+1）（x＞0），则=＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，即x-ln（x+1）＞0，
故ln（x+1）＜x（x＞0）；
（ii）∵ln（x+1）＜x（x＞0），
当n∈N^*，n≥2时，令n=n-1代入上式得：
lnn＜n-1，即=1-，
令n=n²代入上式得，，∴
则=＜
=＜
=
===，
故结论成立．
点评：本题是数列与不等式的综合，涉及了数列的前n项和与项之间的转化，错位相减法和错位相减法求和，综合性强，难度较大．多次用到放缩法和构造函数法，解题时要认真审题，会用分析法找思路，特别是放缩的目标，解决此题需要较强的逻辑思维能力和计算能力．