Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，过点作直线的垂线与曲线相交于，两点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为-16.

【解析】

（1）由题意可得点到点的距离和到直线的距离相等，即，化简即可得解；

（2）先设直线的斜率为，再求得关于的函数关系式，再利用重要不等式求解即可.

（1）由题意可知是线段的中点，因为，所以为的中垂线，

即，又因为，即点到点的距离和到直线的距离相等，

设，则，化简得，

所以动点的轨迹方程为：.

（2）由题可知直线的斜率存在且不为0，设直线：，：，

则，联立可得，

设，，则，.因为向量，方向相反，所以，

同理，设，，可得，

所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为-16.