Question

从圆外一点P（a，b）向圆x²+y²=r²引割线交该圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：由题意，令圆心为O，则OM垂直于PM，设M（x，y），表示出两线OM与PM的斜率，因两者垂直，心斜率乘积为-1建立方程即可得出中点M的坐标所满足的方程．

解答：解：设M（x，y），如图，PM⊥OM，因为圆心在原点，故其坐标为（0，0）
由公式kPM=

y-b

x-a

，kOM=

y-0

x-0

=

y

x

故有

y-b

x-a

×

y

x

=-1
整理得（x-

1

2

a）²+（y-

1

2

b）²=

1

4

（a²+b²）（在圆x²+y²=r²内的部分）
答：弦AB的中点M的轨迹方程是（x-

1

2

a）²+（y-

1

2

b）²=

1

4

（a²+b²）（在圆x²+y²=r²内的部分）．

点评：考查在坐标系下将几何位置关系转化为方程的能力，通过借助图形找出相关的位置关系来建立方程．