Question

【题目】如图，在五棱锥P-ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG上．

（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；

（Ⅱ）已知AB=2，BC=，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°，S△PBE=，点M在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M-AB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）见解析； （II）.

【解析】

（Ⅰ）由题易证BE⊥PO，BE⊥AG，可得BE⊥平面PAG，既而证得平面PBE⊥平面APG；

（II）建立空间直角坐标系，分别求出平面MAB和平面ABD的法向量，再根据二面角的公式求得二面角M-AB-D的余弦值即可.

（Ⅰ）取BE中点F，连接AF，GF，由题意得A，F，G三点共线，

过点P作PO⊥AG于O，则PO⊥底面ABCDE

∵BE平面ABCDE，∴BE⊥PO，

∵△ABE是等边三角形，

∴BE⊥AG

∵AG∩PO=O，∴BE⊥平面PAG，

∵BE平面PBE，

∴平面PBE⊥平面APG．

（II）连接PF，∵

又∵∠PAF=45°，∴PF⊥AF，∴PF⊥AF，

∴PF⊥底面ABCDE．

∴O点与F点重合．

如图，以O为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．

底面ABCDE的一个法向量

∵，∴，

设平面ABM的法向量，

∵，

∴，∴，

∴，取则，

∴，

∵二面角的法向量分别指向二面角的内外，＜＞即为二面角的平面角，

∴cos＜＞==．

∴二面角M-AB-D的余弦值为．

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