Question

已知函数f(x)=

x-a

(x-a)2+4

，
（1）讨论f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（2）当f（x）是奇函数时，求f（x）在[-c，c]（c＞0，c是常数）上的值域．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，利用函数奇偶性的定义，可得结论；
（2）求导函数，确定函数的单调性，分类讨论，可得函数的值域．

解答：解：（1）当a=0时，f(x)=

x

x2+4

，∴f(-x)=

-x

(-x)2+4

=

-x

x2+4

=-f(x)，故f（x）为奇函数．（2分）．
当a≠0时，f（a）=0，f(-a)=

-a

2a2+2

≠0，∴f（-a）≠f（a），且f（-a）≠-f（a），
故f（x）为非奇非偶函数．（4分）．
（2）当a=0时，f(x)=

x

x2+4

为奇函数，f′(x)=

4-x2

(x2+4)2

=

(2-x)(2+x)

(x2+4)2

，令f'（x）=0，得x=±2．
当x变化时f'（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

又当x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＜0．
故f（x）（x∈R）的最大值为f(2)=

1

4

；f（x）（x∈R）的最小值为f(-2)=-

1

4

．（8分）．
由上可知当x∈[-c，c]（c＞0）时，
（1）若0＜c≤2，则f（x）在[-c，c]（c＞0）上单调递增，所以f（x）的值域为[-

c

c2+4

，

c

c2+4

](c＞0)（10分）．
（2）若c＞2，则f（x）在[-c，-2]上单调递减，在[-2，2]上单调递增，在[2，c]上单调递减，所以f（x）的值域为[-

1

4

，

1

4

]．（12分）

点评：本题考查函数的奇偶性，考查导数知识的运用，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．