Question

已知递增的等比数列{a_n}的前三项之积是64，且a₂-1，a₃-3，a₄-9成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）因为数列{a_n}为递增的等比，所以只要求出a₁，q就可求出数列{a_n}的通项公式．根据前三项之积是64，可以得到一个含a₁，q的等式，根据a₂-1，a₃-3，a₄-9成等差数列又可以得到一个含a1，q的等式，两个方程联立，解出a₁，x即可
（2）把（1）中所求数列{a_n}的通项公式代入b_n=n•a_n，求出数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减，就可得到数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）设公比为q
由题意得：a₂=4，
∵2（a₃-3）=a₂-1+a₄-9，∴2（4q-3）=3+4q²-9，解得：q=2
∴a_n=2ⁿ
（2）∵S_n=b₁+b₂+…+b_n
=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ
∴2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹
两式相减得，S_n=-2-2²-2³-…-2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹=

-2(1-2n)

1-2

+n×2n+1=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2

点评：本题考查了等比数列通项公式的求法，以及错位相减求数列的和，做题时要细心．