Question

用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

Answer 1

解答：

解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，

高为

由3.2﹣2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，

设容器的容积为ym³，则有y=x（x+0.5）（3.2﹣2x）（0＜x＜1.6）

整理，得y=﹣2x³+2.2x²+1.6x，（4分）

∴y'=﹣6x²+4.4x+1.6（6分）

令y'=0，有﹣6x²+4.4x+1.6=0，即15x²﹣11x﹣4=0，

解得x₁=1，（不合题意，舍去）．（8分）

从而，在定义域（0，1，6）内只有在x=1处使y'=0．

由题意，若x过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y值很小（接近0），

因此，当x=1时y取得最大值，y_最大值=﹣2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2﹣2×1=1.2．

答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m³．（12分）