Question

（甲）如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁C⊥底面ABC，∠ABC=90°，BC=2，AC=，又AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成的角的大小；
（2）求侧面A₁B与底面所成二面角的大小；
（3）求点C到侧面A₁B的距离．
（乙）在棱长为a的正方体OABC-O'A'B'C'中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（1）求证：A'F⊥C'E；
（2）当三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，求二面角B'-EF-B的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

【答案】分析：甲（1）由题意画出图形由于侧面A₁C⊥底面ABC，所以A₁A与底面ABC所成的角为∠A₁AC，解出即可；
（2）由题意及图形利用二面角平面角的概念即可求二面教的大小；
（3）由题意利用三棱锥的等体积进行轮换可得距离．
乙（1）由于几何体为长方体，利用条件建立空间直角坐标系，写出各个点的空间坐标利用向量的知识和等体积法求出距离；
（2）利用条件及所给图形利用二面角的平面角的定义，设出BF=x，BE=y，则x+y=a，利用均值不等式求出BE，BF的长度，再在三角线中进行求解出二面角的大小．
解答：（甲）（1）∵侧面A₁C⊥底面ABC，∴A₁A在平面ABC上的射影是AC、A₁A与底面ABC所成的角为∠A₁AC．
∵A₁A=A₁C，A₁A⊥A₁C，∴∠A₁AC=45°．

（2）作A₁O⊥AC于O，则A₁O⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，连接A₁E，则A₁E⊥AB，
所以∠A₁EO就是侧面A₁B与底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△A₁EO中，，，
∴．∠A₁EO=60°．

（3）设点C到侧面A₁B的距离为x．
∵，
∴．（*）
∵，OE=1，∴．
又，∴．
又．∴由（*）式，得．∴x=1

（乙）（1）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．
设AE=BF=x，则A'（a，0，a），F（a-x，a，0），C'（0，a，a），E（a，x，0），
∴=（-x，a，-a），=（a，x-a，-a）．
∵，
∴A'F⊥C'E．

（2）解：记BF=x，BE=y，则x+y=a，则三棱锥B'-BEF的体积为．
当且仅当时，等号成立，因此，三棱锥B'-BEF的体积取得最大值时，．
过B作BD⊥BF交EF于D，连接B'D，则B'D⊥EF．
∴∠B'DB是二面角B'-EF-B的平面角．在Rt△BEF中，直角边，BD是斜边上的高，∴
在Rt△B'DB中，tan∠．故二面角B'-EF-B的大小为．
点评：甲（1）此问重点考查了面面垂直的性质定理及线面角的定义；
（2）此问重点考查了二面角的平面角的概念及在三角形中求解三角形的角的大小；
（3）此问重点考查了利用三棱锥的等体积可以进行定点轮换求其体积进而可以求点到面的距离．
乙（1）此问重点考查了利用长方体的特点建立空间直角坐标系．利用向量的知识解决线线垂直的证明；
（2）此问重点考查了利用向量的知识和设出变量利用均值不等式的求出最值时的线段长度，进而求解出二面角的大小，还考查了反三角的知识．