Question

已知函数f（x）＝ax³＋cx＋d（a≠0）是R上的奇函数，当x＝1时f（x）取得极值－2。

（1）求f（x）的单调区间和极大值；

（2）证明对任意x₁、x₂∈（－1，1），不等式|f（x₁）－f（x₂）|＜4恒成立。

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：∵ 函数f（x）＝ax3＋cx＋d（a≠0）是R上的奇函数， ∴ f（－x）＝－f（x），x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d。∴ d＝0。 ∴ f（x）＝ax3＋cx。    ∴ f′（x）＝3ax2＋c。 ∵ f（1）＝－2为f（x）的极值，∴ f′（1）＝0。 ∴ 解得a＝1，c＝－3。f（x）＝x3－3x。 ∴ f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1）， f′（－1）＝f′（1）＝0。 当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间（－∞，－1）上是增函数。 当x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在单调区间（－1，1）上是减函数。 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数。 ∴ f（x）x＝－1处取得极大值，极大值为f（－1）＝2。 （2）证明：由（1）知，f（x）＝x3－3x（x∈［－1，1］）是减函数，且f（x）在［－1，1］上的最大值M＝f（－1）＝2，f（x）在［－1，1］上的最小值M＝f（1）＝－2。 所以，对任意x1、x2∈（－1，1），恒有|f（x1）－f（x2）|＜M－m＝2－（－2）＝4。