Question

（本小题满分14分）

已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线相切。记动点P的轨迹为C。

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线相交于点Q。试研究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）x轴上存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为动圆P过定点A（1，0），且与直线x=－1相切，

所以圆心P到点A（1，0）的距离与到直线x=－1的距离相等。

根据抛物线定义，知动点P的轨迹为抛物线，且方程为C：。       4分

（Ⅱ）设直线l的方程为，（易知斜率不存在的直线不符合要求）

由，消去y得，

由题意，得k≠0，且，化简得km=1。       6分

设直线l与曲线C相切的切点P（x₀，y₀），

则

所以，

由。                                    8分

若取k=1，m=1，此时P（1，2），Q（－1，0），以PQ为直径的圆为，交x轴于点M₁（1，0），M₂（－1，0）；

若取，此时以PQ为直径的圆为

，交x轴于点M₃（1，0），M₄。

所以若符合条件的点M存在，则点M的坐标必为（1，0）。（即为点A）     10分

以下证明M（1，0）就是满足条件的点。

因为M的坐标为（1，0），

所以，                                11分

从而，

故恒有,

即在x轴上存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M。          14分

考点：动点的轨迹方程的求解及直线与圆锥曲线相交相切位置关系的考查

点评：第一问用定义法求动点的轨迹方程是圆锥曲线题目经常出现的类型，第二问证明动圆过定点先通过两个特殊圆找到过的定点，进而证明此点在任意的以PQ为直径的圆上