Question

已知直线l被椭圆

x2

36

+

y2

9

=1所截得的弦的中点为M（4，2），则l被椭圆截得的弦长为

10

．

Answer 1

分析：设直线l的方程为 y-2=k（x-4），代入椭圆的方程化简，由x₁+x₂═

32k2-16k

1+4k2

=8 解得k值，再利用弦长公式求解．

解答：解：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，
代入椭圆的方程化简得  （1+4k²）x²+（16k-32k²）x+64k²-64k-20=0，
∴x₁+x₂═

32k2-16k

1+4k2

=8，解得 k=-

1

2

，∴x₁x₂=14，l被椭圆截得的弦长为

1+ 1 4

×

64-56

=

10

故答案为

10

．

点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到（1+4k²）x²+（16k-32k²）x+64k²-64k-20=0是解题的关键．