Question

已知椭圆9x²+2y²=18上任意一点P，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且，点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）设点P（x，y）是椭圆上一点，则Q（x，0），M（x，y）．由已知得：x=x，y=3y代入椭圆方程即可得到曲线E的方程．
（II）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k．把直线GH的方程y=kx+2与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再利用，即可解出k．当直线GH斜率不存在时，不符合题意．
解答：解：（I）设点P（x，y）是椭圆上一点，则Q（x，0），M（x，y）
由已知得：x=x，y=3y代入椭圆方程得9x²+18y²=18，
即x²+2y²=2为曲线E的方程．
（II）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
当直线GH斜率存在时，设直线GH的斜率为k
则直线GH的方程为：y=kx+2，
代入x²+2y²=2，得：（+k²）x²+4kx+3=0，
由△＞0，解得：k²＞，，，
∵，，又有．
∴
．∴
化为，即10k²=27．
解得：，
∴，
∴直线l的方程为：y=x+2，
当直线GH斜率不存在时，直线的l方程为x=0，
此时矛盾不合题意．
∴所求直线l的方程为：y=x+2．
点评：熟练掌握直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量相等、分类讨论思想方法等是解题的关键．