Question

已知：F₁和F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，
（1）求：双曲线的离心率；
（2）若双曲线经过点Q（4，6），求：双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）利用F₁，F₂，P（0，2b）构成正三角形，可得几何量之间的关系，即可求双曲线的离心率；
（2）利用离心率化简双曲线的方程，代入点的坐标，即可求得双曲线的方程．

解答：解：（1）∵F₁，F₂，P（0，2b）构成正三角形，∴2b=

3

c，
即有3c²=4（c²-a²），则e=

c

a

=2；
（2）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

c

a

=2，∴c²=4a²，
∵c²=a²+b，∴b²=3a²，∴双曲线方程变为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，
∵双曲线经过点Q（4，6），∴

16

a2

-

36

3a2

=1，
∴a²=4，则双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1．

点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．