Question

【题目】已知平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若将曲线上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标伸长到原来的倍，得曲线．

（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；

（2）设点， 直线与曲线的两个交点分别为，，求的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）转化直线的极坐标方程为，利用极坐标方程与直角坐标方程转化公式得直线的直角坐标方程；设点在曲线上，点为坐标变换后点的对应点，由题意得，代入化简即可得解；

（2）写出直线的参数方程,(t为参数)，代入的直角坐标方程，由根与系数的关系可得，，转化条件即可得解.

（1）直线的极坐标方程可化为，

直线的直角坐标方程为；

设点在曲线上，点为坐标变换后点的对应点，

则，，化简得，

曲线的直角坐标方程为；

（2）由题意点在直线上，

则直线的参数方程为,(t为参数)，

将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程可得：，，

则，，

.