Question

设函数f（x）=2sin²(ωx+

π

4

)+2cos2ωx(ω＞0)的图象上两个相邻的最低点之间的距离为

2π

3

（1）求函数f（x）的最大值，并求出此时x的值；
（2）若函数g（x）的图象是由f（x）的图象向右平移

π

8

个单位长度，再沿y轴对称后得到的，求函数g（x）的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）函数解析式两项利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后根据函数图象上两个相邻的最低点之间的距离求出周期，利用周期公式求出ω的值，即可求出f（x）的最大值，以及此时x的值；
（2）利用平移规律，以及对称性质求出g（x）解析式，找出单调减区间即可．

解答：解：（1）f（x）=1-cos（2ωx+

π

2

）+1+cos2ωx=2-sin2ωx+cos2ωx=2-

2

sin（2ωx-

π

4

），
∵函数图象上两个相邻的最低点之间的距离为

2π

3

，
∴2ω=3，即ω=

3

2

，
∴f（x）=2-

2

sin（3x-

π

4

），
则当3x-

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=

2

3

kπ-

π

4

，k∈Z时，f（x）的最大值为2+

2

；
（2）根据题意得：g（x）=2-

2

sin（-3x-

5π

8

）=2+

2

sin（3x+

5π

8

），
令2kπ+

π

2

≤3x+

5π

8

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得到

2

3

kπ-

1

24

π≤x≤

2

3

kπ+

7

24

π，k∈Z，
则g（x）的单调减区间为[

2

3

kπ-

1

24

π，

2

3

kπ+

7

24

π]，k∈Z．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的平移规律及对称规律，熟练掌握公式是解本题的关键．