Question

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁）），（x₂f（x₂））且M（x，f（x））为图象C上的任意一点，O为坐标原点，当实数λ满足x=λx₁+（1-λ）x₂时，记向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

．若|

MN

|≤k恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似，其中k是一个确定的正数．
（Ⅰ）求证：A、B、N三点共线
（Ⅱ）设函数f（x）=x²在区间[0，1]上可的标准k下线性近似，求k的取值范围；
（Ⅲ）求证：函数g（x）=lnx在区间（e^m，e^m+1）（m∈R）上可在标准k=

1

8

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件得

BN

=λ

BA

，从而可得A、B、N三点共线．
（Ⅱ）由已知可得 N和M的横坐标相同，根据 |

MN

|=x-x²=-(x-

1

2

)2-

1

4

及x的范围，求出|

MN

|的范围，再由|

MN

|≤k恒成立，求得k的取值范围．
（Ⅲ）先求出AB的方程为y-m=

1

em+1-em

（x-e^m ），其中x∈[e^m，e^m+1]，令h（x）=lnx-m-

1

em+1-em

（x-e^m ），求出它的导数h′（x），再利用导数求出
函数h（x）在[e^m，e^m+1]上的最大值，即|

MN

|的最大值，可得|

MN

|≤

1

8

成立，故要证得结论成立．

解答：解：（Ⅰ）由

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

得

BN

=λ

BA

，∴A、B、N三点共线．
（Ⅱ）由x=λx₁+（1-λ）x₂ ，

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，得 N 和M的横坐标相同．
对于区间[0，1]上的函数f（x）=x² ，A（0，0）、B（1，1），则有 |

MN

|=x-x²=-(x-

1

2

)2-

1

4

，
∴|

MN

|∈[0，

1

4

]．
再由|

MN

|≤k恒成立，可得 k≥

1

4

．故k的取值范围为[

1

4

，+∞）．
（Ⅲ）对定义在区间（e^m，e^m+1）（m∈R）上的函数函数g（x）=lnx，A （e^m，m）、B（e^m+1，m+1）．
AB的方程为y-m=

1

em+1-em

（x-e^m ），其中x∈[e^m，e^m+1]．
令h（x）=lnx-m-

1

em+1-em

（x-e^m ），则h′（x）=

1

x

-

1

em+1-em

．
由于导数h′（x） 在x=e^m+1-e^m 处的符号左正右负，故函数h（x）  在x=e^m+1-e^m 处取得极大值，
再由x∈[e^m，e^m+1]时，极大值仅此一个，故此极大值是函数h（x）的最大值．
故函数h（x）的最大值为h（e^m+1-e^m）=ln（e-1）-

e-2

e-1

≈0.123＜

1

8

，
即|

MN

|=h（x） 当x∈[e^m，e^m+1]时，有|

MN

|≤

1

8

成立，故要证的结论成立．

点评：本题主要考查三点共线问题、利用导数研究函数的单调性，通过函数的单调性求函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．