Question

高一某个研究性学习小组进行市场调查，某生活用品在过去100天的销售量和价格均为时间t的函数，且销售量近似地满足g（t）=-t+110（1≤t≤100），t∈N．前40天的价格为f（t）=t+8（1≤t≤40），后60天的价格为f（t）=-0.5t+69（41≤t≤100）．
（1）试写出该种生活用品的日销售额S与时间t的函数关系式；
（2）试问在过去100天中是否存在最高销售额，是哪天？

Answer 1

分析：（1）利用S=g（t）•f（t），即可得到函数解析式；
（2）利用配方法，结合函数的单调性，分段求最值，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，S=g（t）•f（t）=

(-t+110)(t+8)，1≤t≤40 (-t+110)(0.5t+69)，(41≤t≤100)

=

-t2+102t+880，1≤t≤40 0.5t2-124t+7590，41≤t≤100

（2）当1≤t≤40时，S=-t²+102t+880=-（t-51）²+880+51²，
在[1，40]上为增函数，∴当t=40时，S_max=-40²+102×40+880=3360；
当41≤t≤100时，S=0.5t²-124t+7 590=0.5（t-124）²+7590-

1

2

×124²，
在[41，100]上函数为减函数，
∴t=41时，S_max=41²×0.5-124×41+7 590=3346.5．
∴在过去100天中第40天的销售额最高，最高值为3360元．

点评：本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．