Question

已知函数f（x）满足f（x-3）=log5

x

6-x

（3≤x≤5）．
（1）求函数f（x）解析式及定义域；
（2）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）若f（x）≥log₅（2x），求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设t=x-3，则x=t+3，由条件求得f(t) = log5

3+t

3-t

，求得t的范围，可得函数f（x）解析式及定义域
（2）设y=f(x) = log5

3+x

3-x

，求得x=

3(5y-1)

5y+1

，可得f^-1（x）=

3(5x-1)

5x+1

，再求得原函数的值域，即为反函数的定义域．
（3）f(x)≥log5(2x)?

3+x 3-x ≥2x＞0 0≤x≤2

，由此求得x的范围．

解答：解：（1）设t=x-3，则x=t+3．∵f(x-3) = log5

x

6-x

，∴f(t) = log5

3+t

3-t

．…（1分）
∵3≤x≤5，∴0≤t≤2．由

3+t 3-t ＞0 0≤t≤2

，求得0≤t≤2．…（2分）
于是f(x) = log5

3+x

3-x

，且定义域为[0，2]．…（1分）
（2）设y=f(x) = log5

3+x

3-x

，则

3+x

3-x

=5y，即x=

3(5y-1)

5y+1

，
∴f^-1（x）=

3(5x-1)

5x+1

．…（2分）
∵0≤x≤2，∴1≤3-x≤3，∴

3+x

3-x

=-1+

6

3-x

∈[1，  5]．
从而log5

3+x

3-x

∈[0，  1]．
故函数f（x）的反函数为f^-1（x）=

3(5x-1)

5x+1

（0≤x≤1）．…（2分）
（3）f(x)≥log5(2x)?

3+x 3-x ≥2x＞0 0≤x≤2

?

0＜x≤1或x≥ 3 2 0≤x≤2

? 0＜x≤1或

3

2

≤x≤2，即x的范围为 （0，1]∪[

3

2

，2]．…（4分）

点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，求一个函数的反函数，对数不等式的解法，属于中档题．