Question

（2012•武昌区模拟）（几何证明）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．若

AC

AB

=

3

5

，则

AF

FD

的值为

8

5

．

Answer 1

分析：连接OD，BC，设AC=3k，AB=5k，BC=4k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=4k，然后通过OD∥AE，利用相似比即可求出

AF

FD

的值．

解答：解：连接OD，BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G为BC的中点，即BG=CG，
又∵

AC

AB

=

3

5

，
∴设AC=3k，AB=5k，根据勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=4k，
∴OB=

1

2

AB=

5k

2

，BG=

1

2

BC=2k，
∴OG=

OB2-BG2

=

3k

2

，
∴DG=OD-OG=

5k

2

-

3k

2

=k，
又四边形CEDG为矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
而OD∥AE，
∴

AF

FD

=

AE

OD

=

4k

5k 2

=

8

5

．
故答案为：

8

5

．

点评：考查了与圆有关的比例线段，能够综合运用勾股定理、相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理，属于基础题．