Question

有4名同学准备利用假期到4个村庄进行社会实践调查，每个人都只去一个村庄，他们每个人事前并不知道其他同学的去向，问：
（1）共有多少种不同的去向结果？
（2）如果恰有一个村庄没有人去，有多少种不同的去向结果？
（3）如果恰有两个村庄没有人去，有多少种不同的去向结果？

Answer 1

分析：（1）每个人都有4种去向，由分步计数原理可得结果；
（2）恰有一个村庄没有人去，即4个村庄只有3个村庄有人去，各村庄去的人数只可能是1、1、2．由分步计数原理可得；
（3）恰有两个村庄没有人去，也就是4个人到2个村庄，分两类：①每个村庄去两个人．②一个村庄去3个人，另一个村庄去1个人，分别由分步计数原理可得结果，相加即可．

解答：解：（1）设这四名同学为甲、乙、丙、丁，则甲可去任一个村庄，有4种去向，
同理其他三人也各有4种，由分步计数原理知，共有4⁴=256种去向结果．
（2）恰有一个村庄没有人去，则4个村庄只有3个村庄有人去，各村庄去的人数只可能是1、1、2．
先从4人中选取2人同去一个村庄，有

C

2 4

种方法，然后与其余2个人看成3个小组，
分别到4个村庄中的3个村庄，有

A

3 4

种结果，
则由分步计数原理知，共有

C

2 4

•

A

3 4

=144种不同的去向结果．
（3）恰有两个村庄没有人去，也就是4个人到2个村庄，从人数看有两种不同的结果：
①每个村庄去两个人．先从4个村庄中选取有人去的2个村庄，有

C

2 4

种结果，
把4个人平均分成2组后，分到这2个村庄去有

C

2 4

•

C

2 2

种结果，
由分步计数原理知，共有

C

2 4

•

C

2 4

•

C

2 2

=36种结果；        
②一个村庄去3个人，另一个村庄去1个人，先把人分成两组，一组1人，一组3人，有

C

1 4

种结果，
再选择两组人去的村庄有

A

2 4

种结果，由分步计数原理知，共有

C

1 4

•

A

2 4

=48种结果．         
由分类计数原理知，共有36+48=84种不同的去向结果．

点评：本题考查排列组合与简单的计数原理，属中档题．