Question

有如下结论：“圆x²+y²=r²上一点P（x，y）处的切线方程为xy+yy=r²”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）求证：直线AB恒过一定点；
（2）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出M的坐标，及2个切点的坐标，由椭圆方程写出切线方程，把M的坐标代入切线方程，得到2个切点所在的直线方程，把右焦点坐标代入检验．
（2）把AB的方程代入椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，求出2根之和、2根之积，用弦长公式求弦长|AB|，再求出M 到AB的距离d，计算面积．
解答：解：
（1）设M
∵点M在MA上∴，同理可得②（3分）
由①②知AB的方程为（4分）
易知右焦点F（）满足③式，（5分）
故AB恒过椭圆C的右焦点F（）（6分）
（2）把AB的方程 x=（1-y）代入椭圆化简得，7y²-6y-1=0，
y₁+y₂=，y₁•y₂=-
∴|AB|=•|y₁-y₂|=•=，
又M 到AB的距离d==，
△ABM的面积 S=•|AB|•d=．
点评：本题考查直线过定点、弦长公式、及点到直线的距离公式．