Question

事实证明：总存在正实数a，b（a＜b），使得a^b=b^a，请你写出所有符合条件的a的取值范围是

（1，e）

．

Answer 1

分析：把等式两边取对数，变形，构造函数，根据函数的单调性和零点的相关知识即可得解．

解答：解：∵a^b=b^a
∴lna^b=lnb^a
又∵a，b是正实数
∴blna=alnb
∴

lna

a

=

lnb

b

，
设函数f（x）=

lnx

x

，则f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f'（x）＞0，得0＜x＜e；令f'（x）＜0，得x＞e
∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减
又当x→+∞时，f（x）→0且f（x）＞0，
∴f（x）的图象如图所示：
又∵a＜b，
∴1＜a＜e．
故答案为：（1，e）．

点评：本题主要考查函数思想和数形结合思想，要求会用求导的方法确定函数的单调性．属中档题．