Question

已知奇函数f(x)的定义域为实数集，且f(x)在［0，+∞)上是增函数，当0≤θ≤时，是否存在这样的实数m,使f(cos2θ-3)?+f(4m-2mcosθ)＞f(0)对所有θ∈［0，］均成立？若存在，则求出所有适合条件的实数m;若不存在，试说明理由.

Answer 1

解法一：∵f(x)在R上是奇函数，又在［0，+∞)上是增函数,?

∴f(x)在（-∞,0］上是增函数，在R上也是增函数，且f(0)=0.?

∵f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)＞0,?

∴f(cos2θ-3)＞f(2mcosθ-4m).?

∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m,即cos²θ-mcosθ+2m-2＞0.?

令cosθ=t,由0≤θ≤,得0≤t≤1,?

∴g(t)=t²-mt+2m-2=(t-)²- +2m-2.?

（1）当＜0时，g(0)最小，?

故需＜0且g(0)=2m-2＞0,此时m不存在.?

（2）当0≤≤1时，g()最小，故需0≤≤1,且g()?=-+2m-2＞0,得4-2＜m≤2.?

（3）当＞1时，g(1)最小，?

故只需＞1且g(1)=m-1＞0，即m＞2.?

综合（1）（2）（3）可知，符合题意的m的值存在.?

m的取值范围是（4-2，2］∪（2，+∞），即（4-2，+∞）.?

解法二：原不等式可化为m＞，即对y=求最大值.?

令t=cosθ,则t∈［0，1］,

∴.?

当且仅当2-t=,即t=2- (∈［0，1］)时取等号，?

∴y=的最大值存在为y=4-2.?

当m＞4-2时，都满足题目条件，m的取值范围是 (4-2，+∞).