Question

（本小题满分13分）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，
ABD和BCD均为等边三角形，AB=2，AC=。
（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求二面角A—BC—D的大小；
（3）求O点到平面ACD的距离。

Answer 1

(Ⅰ)证明见解析。   (Ⅱ) arctan2（Ⅲ）

法一：（1）证明：连结OC，∵ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO垂直BD。（1分）∴ AO=CO=。……（2分）在AOC中，AC=，∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90⁰，即AO⊥OC。∴BDOC=O，∴AO⊥平面BCD。……（3分）
（2）过O作OE垂直BC于E，连结AE，∵AO⊥平面BCD，∴AE在平面BCD上的射影为OE。
∴AE⊥BC。∠AEO为二面角A—BC—D的平面角。……（7分）
在RtAEO中，AO=，OE=，∠，∴∠AEO=arctan2。
二面角A—BC—D的大小为arctan2。
（3）设点O到面ACD的距离为∵V_O-ACD=V_A-OCD，∴。
在ACD中，AD=CD=2，AC=，。
      而AO=，，∴。

      ∴点O到平面ACD的距离为。…（13分）
解法二：（1）同解法一。
（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），D（-1，0，0）
∵AO⊥平面DCD，    ∴平面BCD的法向量=(0,0,)。…（5分）
      设平面ABC的法向量，

      ，
由。设与夹角为，
则。∴二面角A—BC—D的大小为arccos。………（8分）
（3）解：设平面ACD的法向量为又
。……（11分）
设与夹角为，则设O到平面ACD的距离为，
∵,∴O到平面ACD的距离为。（13分）