Question

【题目】已知椭圆，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为的正方形.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于、两点（均不在轴上），点，若直线、、的斜率成等比数列，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）y.

【解析】

（1）根据正方形面积为可得、的值，则椭圆方程可求；

（2）设、，由题意直线的方程为，根据韦达定理和直线的斜率以及等比数列的性质，可求出，再根据弦长公式，点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出的值，则直线的方程即可求出.

（1）将椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为的正方形.

则，解得，所以，，

故椭圆的方程为；

（2）设点、，

联立，整理得，

则，得，

由韦达定理得，，

由直线、、的斜率成等比数列，

则，

又，所以，即，则，

又，

即，解得或，均满足，

又，，且、均不在轴上，则，

所以，，故直线的方程为.