Question

设A、B是双曲线x²-

y2

2

=1的两点，若线段AB的中点为N（1，2）
（1）求直线AB的方程；
（2）求线段AB的长度．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程为：y-2=k（x-1），代入双曲线方程，利用根与系数的关系即可得出；
（2）利用弦长公式即可得出．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB方程为：y-2=k（x-1），
即y=kx+2-k，
代入双曲线方程x2-

y2

2

=1，
得（2-k²）x²+2（2-k）kx-k²+4k-6=0（k≠2）（*）
．∴x1+x2=

2k(k-2)

k2-2

=2x_N=2．解得k=1．
又直线经过点N，由点斜式直线AB方程为：x-y+1=0．
（2）由（1）k=1代入（*）得x²-2x-3=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-3．
∴|AB|=|x₁-x₂|•

1+k2

=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

22+4×3

=4

2

．

点评：直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．