Question

求证：函数y=Atan（ωx+φ）（A≠0,ω≠0）为奇函数的充要条件是φ=kπ（k∈Z）.

Answer 1

思路分析：充要条件的证明要从两方面证：充分性和必要性.在证明时要分清命题的题设与结论，明确充分性与必要性.

证明：充分性：

∵φ=kπ,∴y=Atan（ωx+φ）=Atan（ωx+kπ）=Atanωx,

又∵f（－x）=Atan（－ωx）=－Atanωx=－f（x），

∴y=tanωx是奇函数.

必要性：

∵函数f（x）=Atan（ωx+φ）是奇函数，∴f（－x）=－f（x）,

即Atan（－ωx+φ）=－Atan（ωx+φ）,A≠0,ω≠0.

原式可化为tan（ωx－φ）=tan（ωx+φ）,

∴.

∴tanωx－tan²ωxtanφ－tanφ+tanωxtan²φ

=tanωx+tanφ+tan²ωxtanφ+tanωxtan²φ.

∴2tanφ+2tan²ωxtanφ=0.

∴2tanφ（1+tan²ωx）=0.

∴tanφ=0.∴φ=kπ,k∈Z.