Question

（2012•黄浦区二模）已知定点F（2，0），直线l：x=2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)．设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F的直线l₁与曲线C有两个不同的交点A、B，求证：

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

2

；
（3）记

OA

与

OB

的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定向量的坐标，利用

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，得

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，由此可求曲线C的方程；
（2）设直线l₁的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

，即可证得结论；
（3）确定

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），利用cosθ=

OA • OB

| OA || OB |

，可求cosθ的取值范围．

解答：（1）解：设点P的坐标为（x，y）．                                    （1分）
由题意，可得Q（-2，y），

FQ

=（-4，y），

PF

=（2-x，-y），

PQ

=（-2-x，0）．（3分）
由

FQ

⊥(

PF

+

PQ

)，得

FQ

•(

PF

+

PQ

)=0，即（-4，y）•（-2x，-y）=0
∴y²=8x（x≥0）．    （6分）
∴所求曲线C的方程为y²=8x（x≥0）．    
（2）证明：因为过点F的直线l₁与曲线C有两个不同的交点A、B，所以l₁的斜率不为零，
故设直线l₁的方程为x=my+2．                                （7分）
于是A、B的坐标（x₁，y₁）、（x₂，y₂）为方程组

y2=8x x=my+2

的实数解．
消x并整理得y²-8my-16=0．　　　　                          　（8分）
于是y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴x₁+x₂=8m²+4，x₁x₂=4，（10分）
又因为曲线y²=8x（x≥0）的准线为x=-2，
所以

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

=

4+x1+x2

x1x2+2(x1+x2)+4

=

1

2

，得证． （12分）
（3）解：由（2）可知，

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）．
∴cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

x1x2+y1y2

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

=

-12

x 2 1 +8x1 • x 2 2 +8x2

=

-6

100+64m2

≥-

3

5

（当且仅当m=0时，等号成立）．　　　　　（16分）
∴cosθ的取值范围为[-

3

5

，0）．                    （18分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题．