Question

求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为12，离心率为

4

5

的椭圆；
（2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(

3

2

，

6

)，求抛物线与双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得到椭圆离心率为e=

c

a

=

4

5

，结合b=6和a²=b²+c²解出a=10，从而得到该椭圆的方程；
（2）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将点(

3

2

，

6

)代入算出p=2，从而得到抛物线方程为y²=4x，所以抛物线的准线为x=-1，结合题意得到双曲线的半焦距c=1，再由点(

3

2

，

6

)在双曲线上解出a²=

1

4

，b²=

3

4

，可得双曲线的方程．

解答：解：（1）∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为12，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
∵离心率为e=

4

5

，b=6，
∴

a2-62

a

=

4

5

，解之得a=10，
从而得到椭圆方程为

x2

100

+

y2

36

=1；
（2）设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
∵抛物线与双曲线的交点为(

3

2

，

6

)，
∴6=2p×

3

2

，可得p=2，
可得抛物线方程为y²=4x，准线方程为x=-1
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点在抛物线的准线上，∴c=1
又∵(

3

2

，

6

)是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点
∴

9 4

a2

-

6

b2

=1，
联解①②，可得a²=

1

4

，b²=

3

4

，得到双曲线的方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1
∴抛物线的方程为y²=4x，双曲线的方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．

点评：本题给出椭圆和双曲线满足的两个关系式，求它们的标准方程，着重考查了椭圆、双曲线和抛物线的标准方程与简单几何性质等知识点，属于基础题．