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    【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.

    （1）当时，求证：；

    （2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.

    【答案】（1）详见解析；（2）.

    【解析】

    （1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.

    解：（1）∵顶点在底面的射影是，

    ∴面，由面，∴.

    ∵，，，连，

    ∴，，，，

    ∴，则，∴.

    由，，∴面，

    由面，∴，

    ∵菱形，，

    ∴.

    （2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，

    ∵，则，∴.

    ∵，则，∴，

    设面的法向量为，由，解得.

    由与面所成角的正弦值为，即有，解得.

    设面的法向量为，由，解得.

    ∴二面角的余弦值.

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