Question

已知数列{a_n}的首项a₁=-1，?n∈N₊，a_n+1=2a_n+2．
（1）求证：{a_n+2}是等比数列；
（2）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的定义进行证明．（2）根据错误相减和分组求和的方法求数列的和．

解答：解：（1）（法一）依题意a_n+1+2=2a_n+2+2…（2分），a_n+1+2=2（a_n+2）…（3分），且a₁+2=1≠0…（4分），所以，{a_n+2}是等比数列…（5分）
（法二）设c_n=a_n+2…（1分），则a_n=c_n-2，a_n+1=c_n+1-2…（2分），
所以?n∈N₊，c_n+1-2=2（c_n-2）+2…（3分），c_n+1=2c_n，c₁=1≠0…（4分），
所以，{c_n}即{a_n+2}是等比数列…（5分）
（2）由（1）得an+2=2n-1…（6分），an=2n-1-2，bn=n•an=n•2n-1-2n…（7分），
设数列{b_n}的前n项和为S_n，即Sn=(1×20-2×1)+(2×21-2×2)+(3×22-2×3)+…(n×2n-1-2n)
=[1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1]-2×（1+2+3+…+n）…（9分）
其中2×(1+2+3+…+n)=2×

n(n+1)

2

=n(n+1)…（10分）
记Tn=1×20+2×21+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1，
则2Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n…（11分），
两式相减得Tn=-(20+21+22+…+2n-1)+n×2n=(n-1)•2n-1…（12分）
所以Sn=(n-1)•2n-n2-n+1…（13分）

点评：本题主要考查等比数列的定义的应用以及利用错位相减法求数列的前n项和．考查学生的运算能力．