Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .

 (1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

 (3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.

Answer 1

(1)同解析

(2) f(x)的最大值为

(3) 二面角D-BF-C的余弦值为－

解析:

1） 作DH⊥EF于H，连BH，GH，

由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH。

又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，

BHDH＝H，故EG⊥平面DBH

而BD平面DBH，∴ EG⊥BD

（2）∵AD∥面BFC，

所以 V_A-BFC＝＝4(4-x)x

即时有最大值为

（3）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。

由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。             ………………………………………………………………9分

由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。

又DH＝2，

∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，

因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝， 

而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，

故二面角D-BF-C的余弦值为－。