Question

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5

5

．
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积V_S-ABC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用SA⊥平面ABC，根据三垂线定理，可得SC⊥BC．
（Ⅱ）由于BC⊥AC，SC⊥BC，可知∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．在Rt△SCB中，求得SC=10，在Rt△SAC中，可求侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小．
（Ⅲ）先计算S_△ABC，再求V_S-ABC=

1

3

•S_△ACB•SA．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC．
又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC．
由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，
由三垂线定理，得SC⊥BC．
（Ⅱ）解：∵BC⊥AC，SC⊥BC
∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△SCB中，BC=5，SB=5

5

．
得SC=

SB2-BC2

=10
在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=

AC

SC

=

5

10

=

1

2

∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°．
（Ⅲ）解：在Rt△SAC中，
∵SA=

SC2-AC2

=

102-52

=

75

．
S_△ABC=

1

2

•AC•BC=

1

2

×5×5=

25

2

．
∴V_S-ABC=

1

3

•S_△ACB•SA=

1

3

×

25

2

×

75

=

125 3

6

．

点评：本题以三棱锥为载体，考查线线垂直，考查线面角，考查几何体的体积，关键是作出二面角的平面角．