Question

过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A、B两点，若存在直线使坐标原点O恰好在以AB为直径的圆上，则椭圆的离心率取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：设l：x=-c+my代入椭圆方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂为整理后的方程的两个根，利用韦达定理结合OA⊥OB，可得到a，b，c之间的关系式，从而可求得椭圆的离心率取值范围．
解答：设l：x=-c+my代入椭圆方程得：+=1，
整理得：（b²m²+a²）y²-2mcb²y-b⁴=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁，y₂为上述方程的两个根，
∴y₁+y₂=，y₁y₂=-，①
∵OA⊥OB，
∴（-c+my₁）（-c+my₂）+y₁y₂=0．
∴c²-mc（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂=0，将①代入，整理得：
a²c²-（c²b²+b⁴）m²-b⁴=0，
∴（c²b²+b⁴）m²=a²c²-b⁴≥0，
∴a²c²≥（a²-c²）²，又e=，
∴e⁴-3e²+1≤0，
∴≤e²≤，而0＜e＜1，
∴≤e²＜1，
∴≤e＜1．
故选D．
点评：本题考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，突出考查韦达定理的作用，考查垂直关系的应用，考查抽象思维与综合运算能力，属于难题．