Question

（本题满分15分）已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于，两点.

（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;

（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，且.

由题意可知：，.           ………2分

所以.            

所以，椭圆的标准方程为.    ………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.设.

（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.

由 解得：或

即（不妨设点在轴上方）.…………5分

则直线的斜率，直线的斜率.

因为 ，

所以 .

所以 .                  …………6分

（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.

由消去得：.

因为 点在椭圆的内部，显然.

               ……………8分

因为 ，，，

所以

.

所以 .                           

所以 为直角三角形.             ………………11分

（III）假设存在直线使得为等腰三角形，则.

取的中点，连接，则.

记点为. 

另一方面，点的横坐标，

所以 点的纵坐标.

所以

.

所以 与不垂直，矛盾.

所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.…………13分

【解析】略