Question

【题目】已知抛物线的焦点到直线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，若，直线与抛物线相交于两点，与直线相交于点，且，求面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）写出抛物线的焦点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，解方程可得的值，即得抛物线的方程；

（2）设，直线，.将直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得.求出点到直线的距离，根据弦长公式求出，故的面积，可求面积的取值范围．

（1）抛物线的焦点坐标为，

焦点到直线的距离为，

.

抛物线的方程为．

（2）由题意可设，直线，

将直线的方程代入抛物线的方程，消去，得．

直线与抛物线相交于两点，

．

设，则.

是线段的中点，，

代入，解得．

又，，，

或．

直线的方程为.

点到直线的距离，

又，，

．

令，则．

或，

，即．

面积的取值范围为 ．