Question

如图，F是抛物线y²=4x的焦点，Q是准线与x轴的交点，直线l经过点Q.

（1）直线l与抛物线有唯一公共点，求l的方程；

（2）直线l与抛物线交于A、B两点.

(ⅰ)记FA、FB的斜率分别为k₁、k₂，求k₁+k₂的值为;

(ⅱ)若点R在线段AB上，且满足，求点R的轨迹方程.

Answer 1

解法一：依题意Q（-1，0），显然直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k,则l的方程为y=k(x+1).代入抛物线方程得k²x²+(2k²-4)x+k²=0.                                                ?

（1）若k≠0,令Δ=（2k²-4）²-4k⁴=0,得k=±1，?

此时l的方程为y=±(x+1),?

即y=x+1，或y=-x-1.                                                                                               ?

若k=0，方程有唯一解，?

此时直线l与抛物线有唯一公共点，其方程为y=0.综上，所求直线l的方程为y=0,或y=x+1,或y=-x-1.                                                                                                          

?

（2）显然k≠0，记A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),?

则x₁+x₂=,x₁x₂=1.?

∴y₁+y₂=k(x₁+x₂+2)=,y₁y₂=k²(x₁x₂+x₁+x₂+1)=4,                                                      ?

（ⅰ）k₁+k₂=+==,?

∵x₁x₂=1,∴k₁+k₂=0.                                                                                                ?

（ⅱ）设动点R的坐标为R（x,y）,?

∵,∴=.∴y=.                                                   ?

∴y==2k.∴x=y-1=2-1=1.                                                                                 ?

令Δ=(2k²-4)²-4k⁴=16-16k²＞0,?

∴-1＜k＜1.又∵k≠0,∴y∈(-2,0)∪(0,2).?

综上，点Q的轨迹方程为x=1,y∈（-2，0）∪（0，2）.                                        

解法二：（1）当y≥0时,y=2,y′=.                                                           ?

当l与抛物线相切时，切点P(x₀,y₀)为唯一公共点，y₀=2.?

因为切线y-y₀=(x-x₀)过点Q（-1，0），所以-y₀=(-1-x₀).?

解得x₀=1,y₀=2,切线方程为y=x+1.?

同理求得另一条切线方程为y=-x-1.                                                                         ?

又当直线方程为y=0时，l与抛物线有唯一公共点.?

因此，所求直线l的方程为y=0,或y=x+1，或y=-x-1.                                               ?

（2）因为直线l过Q点与抛物线有两个交点，可设方程为x=ty-1.?

代入抛物线方程得y²-4ty+4=0.?

记A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则y₁+y₂=4t,y₁y₂=4.                                                                     ?

(ⅰ)k₁+k₂=+?

===0,?

即k₁+k₂=0;                                                                                                            

(ⅱ)设动点R的坐标为R(x,y).

∵,∴=.∴y=.                                                   ?

∴y==T.∴x=ty-1=2-1=1.                                                                                ?

令Δ=16t²-16＞0,得t＜-1,或t＞1,?

∴y∈(-2,0)∪(0,2).?

所以点Q的轨迹方程为x=1,y∈（-2，0）∪（0，2）.