Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为

5

（1）求其渐近线方程；
（2）过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于P₁、P₂两点，且

P1P

=2

PP2

，S△OP1P2=9，求双曲线方程．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的离心率，可得a，b之间的关系，即可求其渐近线方程；
（2）利用向量知识确定P的坐标，结合三角形的面积公式，即可求得结论．

解答：解：（1）∵双曲线的离心率为

5

，∴

c

a

=

5

，∴

b

a

=2
∴双曲线的渐近线方程为y=±2x…（3分）
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y）
∵

P1P

=2

PP2

，
∴x=

x1+2x2

3

，y= 

2x1-4x2

3

即P(

x1+2x2

3

，  

2x1-4x2

3

)
由（1）可知，设所求双曲线方程为

x2

a2

-

y2

4a2

=1
∵点P在双曲线，上∴8x1•x2=9a2①…（5分）
又∵S△OP1P2=9，∴

1

2

|OP1|•|OP2|•sin∠P1OP2=9②
由①②得a²=4…（7分）
∴所求双曲线方程为

x2

4

-

y2

16

=1…（8分）

点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．