Question

设动点P到点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离分别为d₁和d₂，∠F₁PF₂=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）如图，过点F₂的直线与双曲线C的右支交于A，B两点．问：是否存在λ，使△F₁AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在△PF₁F₂中，利用余弦定理得出d₁-d₂是一个常数，从而动点P的轨迹C是以F₁，F₂为焦点的双曲线，最后求出双曲线的方程即可；
（2）在△AF₁B中，设|AF₁|=d₁，|AF₂|=d₂，|BF₁|=d₃，|BF₂|=d₄．对于存在性问题，可先假设存在，即假设△AF₁B为等腰直角三角形，再利用方程组，求出λ的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）在△PF₁F₂中，
|F₁F₂|=24=d₁²+d₂²-2d₁d₂cos2θ=（d₁-d₂）²+4d₁d₂sin²θ
（d₁-d₂）²=4-4λ
∴|d1-d2|=2

1-λ

（小于2的常数）
故动点P的轨迹C是以F₁，F₂为焦点，实轴长2a=2

1-λ

的双曲线．
方程为

x2

1-λ

-

y2

λ

=1．
（2）在△AF₁B中，设|AF₁|=d₁，|AF₂|=d₂，|BF₁|=d₃，|BF₂|=d₄．
假设△AF₁B为等腰直角三角形，则

d1-d2=2a① d3-d4=2a② d3=d4+d2③ d1= 2 d3④ d3d4sin2 π 4 =λ⑤

由②与③得d₂=2a，
则

d1=4a d3=2 2 a d4=d3-2a=2( 2 -1)a

由⑤得d₃d₄=2λ，4

2

(

2

-1)a2=2λ，(8-4

2

)(1-λ)=2λ，λ=

12-2 2

17

∈(0，1)
故存在λ=

12-2 2

17

满足题设条件．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、直线的方程、双曲线方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．