Question

如图，已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）线段A₁B上是否存在一点P，使得A₁B⊥平面PAC？若存在，确定P点的位置，若不存在，说明理由；
（2）点P在A₁B上，若二面角C-AP-B的大小是arctan2，求BP的长；
（3）Q点在对角线B₁D，使得A₁B∥平面QAC，求

B1Q

QD

．

Answer 1

分析：（1）线段A₁B上不存在一点P，使得A₁B⊥平面PAC．用反证明法进行证明．
（2）作出平面角∠BHC，由

AB

BH

=2，知∠HAB=30°，在△ABP中用正弦定理可得BP=

6 - 2

2

．
（3）A₁B∥平面D₁AC，Q是B₁D与平面ACD₁的交点，△B₁D₁Q∽△DOQ，由此能求出

B1Q

QD

=

B1D1

OD

=2．

解答：解：（1）线段A₁B上不存在一点P，使得A₁B⊥平面PAC．
理由如下：
假设线段A₁B上是否存在一点P，使得A₁B⊥平面PAC．
结AC，则AC⊥A₁B．
∵AA₁⊥AC，
∴AC⊥面AA₁B₁B，
∴AC⊥AB，与∠BAC=45°矛盾．
∴线段A₁B上不存在一点P，使得A₁B⊥平面PAC．
（2）∵CB⊥平面ABP，作BN⊥AP，交AH延长线与H，连接CH，
则∠BHC是二面角二面角C-AP-B平面角…（6分）
∵二面角C-AP-B的大小是arctan2，
∴tan∠BHC=

BC

BH

=2，即

AB

BH

=2，
∴∠HAB=30°…（8分）
在△ABP中，
∠PAB=30°，AB=1，∠PBA=45°，
∴∠APB=180°-30°-45°=105°，
由正弦定理，得

AB

sin105°

= 

BP

sin30°

，
∴BP= 

sin30°×1

sin105°

=

1 2

2  + 6 4

=

6 - 2

2

．
∴BP=

6 - 2

2

…（10分）
（3）∵A₁B∥平面D₁AC，
Q是B₁D与平面ACD₁的交点，…（12分）
△B₁D₁Q∽△DOQ，
∴

B1Q

QD

=

B1D1

OD

=2…（14分）．

点评：本题考查立体几何的综合运用，考查考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．