Question

（14分）如右图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD为边长为的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC＝.

(1)若N为线段PB的中点，求证：EN//平面ABCD；
(2)求点到平面的距离．

Answer 1

(1)只需证NE∥FC； (2) 。

解析试题分析：(1)解法1：连结AC与BD交于点F，连结NF，…………………..1分
∵F为BD的中点，∴NF∥PD且NF＝PD……………………………….3
又EC∥PD，且EC＝PD，
∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四边形NFCE为平行四边形，…………… 4
∴NE∥FC. …………………. …………….5
∵NE平面ABCD，且平面ABCD   所以EN//平面ABCD；………………….6
(2)（体积法）连结DE，由题，且，故是三棱锥的高，
…………………. ………………7
在直角梯形中，可求得，且  由（１）所以………9
，…………………11
又，…………………………12
设所求的距离为，则……………..14
解法2：(1)以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示
………………………………1，
则B(2,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2)，E(0,2，1)，N(1，1，1)，……………2
∴＝(1，－1，0)， ……………………..3

，…………… ……………4
又是平面ABCD的法向量
∵NE平面ABCD       所以EN//平面ABCD；……………………………….6
（2）由（1）可知，…………….8
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由得…………………. ……………10
解得其中一个法向量为………………………..11
点到平面的距离为……14
考点：线面垂直的性质定理；线面平行的性质定理；点到平面的距离。
点评：设A是平面α外一点，B是α内一点，为α的一个法向量，则点A到平面α的距离。