Question

已知函数f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

，若函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．
（1）求实数a的值．
（2）判断函数的单调性．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）满足f（-x）=-f（x），可得f（0）=0，从而可求实数a的值；
（2）利用函数单调性的定义及证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论即可．

解答：解：（1）由题意，函数的定义域为R．…（2分）
∵f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
∴

2a-2

2

=0．解得a=1                     …（6分）
（2）f（x）在定义域R上为增函数
任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则2x1＜2x2 …（7分）
则f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在定义域R上为增函数．                 …（12分）

点评：本题考查函数的解析式的求解，考查函数的单调性的判断与证明，属于基础题．