Question

设x＞0，y＞0，z＞0．
（Ⅰ）利用作差法比较

x2

x+y

与

3x-y

4

的大小；
（Ⅱ）求证：x²+y²+z²≥xy+yz+zx；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）（Ⅱ）的结论，证明：

x3

x+y

+

y3

y+z

+

z3

z+x

≥

xy+yz+zx

2

．

Answer 1

分析：（1）作差、变形到因式乘积的形式，判断符号，得出结论．
（Ⅱ） 作差、变形到完全平方的和的形式，判断符号，得出结论．
（Ⅲ）由（1）可得

x3

x+y

≥

3x2-xy

4

，同理可得  

y3

y+z

≥

3y2-yz

4

，

z3

z+x

≥

3z2-zx

4

，相加后利用（Ⅱ） 的
结论即可证明不等式成立．

解答：解：（1）∵

x2

x+y

-

3x-y

4

=

(x-y)2

4(x+y)

≥0，∴

x2

x+y

≥

3x-y

4

．
（Ⅱ）∵x2+y2+z2-(xy+yz+zx)=

1

2

[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]≥0；
∴x²+y²+z²≥xy+yz+zx．
（Ⅲ）由（1）可得

x3

x+y

≥

3x2-xy

4

，类似的有  

y3

y+z

≥

3y2-yz

4

，

z3

z+x

≥

3z2-zx

4

，
∴

x3

x+y

+

y3

y+z

+

z3

z+x

≥

3x2-xy+3y2-yz+3z2-zx

4

=

3(x2+y2+z2)-xy-yz-zx

4

≥

3(xy+yz+zx)-xy-yz-zx

4

=

xy+yz+zx

2

，
故

x3

x+y

+

y3

y+z

+

z3

z+x

≥

xy+yz+zx

2

 成立．

点评：本题考查用比较法、综合法证明不等式，由（1）得

x3

x+y

≥

3x2-xy

4

，是解题的关键．