Question

已知数列{a_n}是首项与公比均为

1

3

的等比数列，数列{b_n}的前n项和Bn=

1

2

(n2+n)，n∈N*．
（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）设{a_nb_n}的前n项和为S_n，求证：

1

3

≤Sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）已知数列{a_n}是首项与公比均为

1

3

的等比数列，可以求出a_n的通项公式，利用公式bn=B_n-B_n-1，可以求出b_n的通项公式；
（2）已知a_n，b_n的通项公式可得anbn=

n

3n

，可以利用错位相减法求出其前n项和S_n，再进行放缩证明；

解答：解：（1）由{a_n}是首项与公比均为

1

3

的等比数列，得an=

1

3

•(

1

3

)n-1=

1

3n

在数列{b_n}中，Bn=

1

2

(n2+n)，
当n=1时，b₁=B₁=1，
当n≥2时，b_n=B_n-B_n-1=

1

2

(n2+n)-

1

2

[(n-1)2+(n-1)]=n，
即b_n=n，
∴an=

1

3n

，bn=n，n∈N*
（2）由（1）知，anbn=

n

3n

，
∴Sn=

1

3

+

2

3n

+…+

n

3n

，①
∴

1

3

Sn=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

，②
①-②得，

2

3

Sn=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

1

2

-

1

2×3n

-

n

3n+1

，
∴S n=

3

4

-

2n+3

4×3n

，
由n∈N*知

2n+3

4×3n

＞0，
∴Sn=

3

4

-

2n+3

4×3n

＜

3

4

．Sn+1-Sn=

3

4

-

2(n+1)+3

4×3n+1

-

3

4

+

2n+3

4×3n+1

＞0，
∴S_n+1＞S_n，
∴S_n的最小值为S1=

1

3

，
∴

1

3

≤Sn＜

3

4

．

点评：此题主要考查数列与不等式的综合，解题过程中用到了错位相减法，这也是高考常用的方法，是一道中档题；