Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且满足．

（1）求椭圆的方程；

（2）设倾斜角为的直线与交于，两点，记的面积为，求取最大值时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）根据点在椭圆上，且满足，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、，即可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为.

联立消去，整理得，由韦达定理，利用弦长公式、点到直线距离公式以及三角形的面积公式求得，利用基本不等式可得结果.

（1）设，，根据题意的，

，，

所以，解得，

因为，①

又因为点在椭圆上，所以，②

联立①②，解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）因为直线的倾斜角为45°，所以设直线的方程为.

联立消去，整理得

因为直线与交于两点，

所以，解得，.

设，，则

，，

从而，.

又因为点到直线的距离，

所以，

当且仅当，即，即时取等号.

所以的面积的最大值为，

此时直线的方程为或.