Question

规定=，其中是正整数，且=1，这是组合数 (是正整数，且)的一种推广．

(1)求的值；

(2)设，当为何值时，取得最小值?

(3)组合数的两个性质：①=； ②+=

是否都能推广到 (是正整数)的情形?若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)．

(2)当时，取得最小值．

(3)性质①不能推广．例如当时，有意义，但无意义；

性质②能推广，其推广形式是：，是正整数，

【解析】

试题分析：(1)．  4分

(2)

∵当且仅当时，取等号

∴当时，取得最小值．  8分

(3)性质①不能推广．例如当时，有意义，但无意义；

性质②能推广，其推广形式是：，是正整数，12分

事实上，当时，有，

当时，

=

=．  15分

考点：本题主要考查组合数的性质及其应用，归纳推理，均值定理的应用。

点评：中档题，本题由3道小题组成，前两小题解题思路明确，利用组合数公式及其性质变形、计算，其中（2）在得到函数表达式的基础上，灵活运用均值定理求最值，具有一般性。（3）利用归纳推理，作出判断，利用组合数公式及其性质进行了证明，对复杂式子变形能力要求高。