Question

已知数列{a_n}中，a₂=a+2（a为常数），S_n为{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（Ⅰ）求a₁，a₃；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=3ⁿ且a=2，T_n为数列{a_n•b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

Tn-n•3n+1

bn

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n是na_n与na的等差中项．得到S_n、na_n与na的关系式，从n=1依次代入整数值，再结合a₂=a+2（a为常数），即可求出a₁，a₃；
（Ⅱ）由a₁，a₂，a₃的值与n的关系，归纳推理出数列的通项公式，观察到它们是与自然数集相关的性质，可采用数学归纳法来证明．
（Ⅲ）通过（Ⅱ）可知a_n，若b_n=3ⁿ且a=2，求出T_n前n项和的表达式，代入

lim

n→∞

Tn-n•3n+1

bn

，利用极限的运算法则即可求极限值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得 Sn=

nan+na

2

，
当n=1时，
S₁=a₁则2a₁=a₁+a，
得a₁=a．
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃
则2（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a）
∴a₃=a+4
（Ⅱ）由a₁=a、a₂=a+2、a₃=a+4，
猜想：a_n=a+2（n-1）
证明：
①当n=1时，
左边=a₁=a，
右边=a+2（1-1）=a，
则当n=1时，等式成立，
当n=2时，
左边=a₂=a+2=右边，
故当n=2时，等式成立．
②假设n=K时，等式成立，
即a_K=a+2（K-1）则当n=K+1时，
a_K+1=S_K+1-S_K=

aK+1+a

2

(k+1)-

ak+a

2

k
∴（K-1）a_K+1=ka_k-a
即a_K+1=

K

K-1

a_k-

a

K-1

将a_K=a+2（K-1）代入得
a_K+1=a+2[（k+1）-1]，
∴当n=K+1时，等式也成立．由①②可知，对任何正整数n，
等式a_n=a+2（n-1）都成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a_n=a+2（n-1）=2n，b_n=3ⁿ；a_n•b_n=2n3ⁿ；
T_n=2•3+4•3²+8•3³+…+（2n-2）•3^n-1+2n•3ⁿ．①
2T_n=2•2²+4•2³+…+4（n-1）•2ⁿ+4n•3ⁿ⁺¹．②
②-①得Tn=

3

2

-

3

2

•3n+n•3n+1，

lim

n→∞

Tn-n•3n+1

bn

=

lim

n→∞

3 2 - 3 2 •3n+n•3n+1-n•3n+1

3n

=-

3

2

．

点评：本题中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．求和注意错位相减法，注意极限的求法与应用．