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    正四棱柱AC1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且AM⊥BN，建立空间直角坐标系.

    （1）求AA1的长；

    （2）求〈,〉；

    （3）对于n个向量a1，a2，…,an，如果存在不全为零的n个实数λ1,λ2,…,λn，使得λ1a1+λ2a2+…+λ2an=0成立，则n个向量a1，a2，…，an叫做线性相关，不是线性相关的向量叫线性无关，判断、、是否线性相关，并说明理由.

    解:（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AA1的长为a，则B（4，4，0）、N（2，2，a）.

    ∴=(-2,-2,a).

        又A(4,0,0)、M(2,4,),

    ∴=(-2,4,).

        由⊥,得·=0,∴4-8+=0.

    ∴a=2，即AA1的长为2.

    （2）可得=（-2，-2，2 ），=（-4，0，2），

    ∴cos〈,〉==.

    ∴〈,〉=arccos.

    （3）由=（-2，4，），=（-2，-2，2），=（0，-4，0）,

    λ1(-2,4,)+λ2(-2,-2,2)+λ3(0,-4,0)=0λ1=λ2=λ3=0,线性无关.

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    求：（1）BD1和底面ABCD所成的角；

    （2）异面直线BD1和AD所成的角；

    （3）正四棱柱的全面积.

     

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