Question

【题目】已知函数 的图象过点（﹣1，2），且在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与直线x﹣5y+1=0垂直．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在[﹣1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x+b，

由题意得： 即 ，

解得：b=c=0．

（2）解：因为

当﹣1≤x＜1时，f′（x）=﹣x（3x﹣2），

解f′（x）＞0得 解f′（x）＜0得

∴f（x）在（﹣1，0）和（ ，1）上单减，在（0， ）上单增，

从而f（x）在x= 处取得极大值f（ ）=

又∵f（﹣1）=2，f（1）=0，

∴f（x）在[﹣1，1）上的最大值为2．

当1≤x≤e时，f（x）=alnx，

当a≤0时，f（x）≤0；

当a＞0时，f（x）在[1，e]单调递增；

∴f（x）在[1，e]上的最大值为a．

∴a≥2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为a；

当a＜2时，f（x）在[﹣1，e]上的最大值为2．

【解析】（1）求出x＜1时的导函数，令f（﹣1）=2，f′（x）=﹣5，解方程组，求出b，c的值．（2）分段求函数的最大值，利用导数先求出﹣1≤x＜1时的最大值；再通过对a的讨论，判断出1≤x≤e时函数的单调性，求出最大值，再从两段中的最大值选出最大值．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．