Question

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-

3

，0），且过D（2，0），设点A（1，

1

2

）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（2）椭圆

x2

4

+y2=1的参数方程是

x=2cosα y=sinα

，α为参数，故P（2cosα，sinα），设线段PA的中点为M（x，y），由A（1，

1

2

），P（2cosα，sinα），知x=

1+cosα

2

，y=

1 2 +sinα

2

，由此能求出线段PA中点M的轨迹方程．

解答：解：（1）∵在平面直角坐标系中的一个椭圆，
它的中心在原点，左焦点为F（-

3

，0），且过D（2，0），
∴椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=1．
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）椭圆

x2

4

+y2=1的参数方程是：

x=2cosα y=sinα

，α为参数．
∴P（2cosα，sinα），
设线段PA的中点为M（x，y），
∵A（1，

1

2

），P（2cosα，sinα），
∴x=

1+cosα

2

，y=

1 2 +sinα

2

，
∴cosα=2x-1，
sinα=2y-

1

2

，
∴（2x-1）²+（2y-

1

2

）²=1．
∴线段PA中点M的轨迹方程是（2x-1）²+（2y-

1

2

）²=1．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．